platano preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 4 semanas

¿URGE POR FAVOR!!!!  En el siguiente ejercicio, para la gráfica y tabulacion de las de las ecuaciones paramétricas siguientes:?

X= t²+t , Y= t²-t , -2 ≤ t ≤ 2 , en tamaño de paso de 0.5 en 0.5

Indique y seleccione la respuesta correcta para cada uno de los aspectos solicitados a continuacion:

A) Tipo de Rectas tangentes:

B) Primer derivada (dy / dx):

C) Segunda derivada (d^2y / dx^2):

D) Concavidades:

2 respuestas

Calificación
  • Anónimo
    hace 4 semanas
    Respuesta preferida

    Dada la curva definida por las ecuaciones paramétricas:

    { x = t² + t

    { y = t² - t

    Con -2 ≤ t ≤ 2.

    dx/dt = 2t + 1

    dy/dt = 2t - 1

    Para calcular dy/dx, por la regla de la cadena se tiene que:

    dy/dx = (dy/dt) (dt/dx) = (dy/dt) / (dx/dt)

    Luego:

    dy/dx = (2t - 1)/(2t + 1)

    Para calcular dy²/dx², se aplica de nuevo la regla de la cadena.

    d²y/dx² = d[dy/dx]/dx = (d/dt) (dy/dx) (dt/dx) = (d[dy/dx]/dt) / (dx/dt)

    Luego:

    d[dy/dx]/dt = { [2t - 1]' (2t + 1) - (2t - 1) [2t + 1]' } / (2t + 1)²

    d[dy/dx]/dt = { 2 (2t + 1) - 2 (2t - 1) } / (2t + 1)²

    d[dy/dx]/dt = { 4t + 2 - 4t + 2 } / (2t + 1)²

    d[dy/dx]/dt = 4/(2t + 1)²

    d²y/dx² = [4/(2t + 1)² ] / (2t + 1)

    d²y/dx² = 4/(2t + 1)³

    Donde t ≠ -1/2

    -----

    dy/dx = (2t - 1)/(2t + 1)

    La primera derivada (dy/dx) es cero cuando el numerador es nulo (dy/dt = 0), e indefinida cuando el denominador en nulo (dx/dt = 0), es decir, en t = 1/2 y t = -1/2, respectivamente.

    Estudiando los signos de la primera derivada dy/dx:

    -2 . . . . -1/2 . . . . 1/2 . . . . 2

    + + + + N.E. - - - - 0 + + + + | dy/dx = (2t - 1)/(2t + 1)

    Entonces:

    1) La recta tangente a la curva es decreciente en -1/2 < t < 1/2.

    2) La recta tangente a la curva es horizontal en t = 1/2

    3) La recta tangente a la curva es creciente en -2 ≤ t < -1/2 y 1/2 < t ≤ 2.

    -------

    d²y/dx² = 4/(2t + 1)³

    La segunda derivada es indefinida cuando el denominador es t = -1/2.

    Para determinar las concavidades de esta curva, estudiamos los signos de la segunda derivada d²y/dx².

    -2 . . . . -1/2 . . . . . 2

    - - - - - - N.E.+ + + + | d²y/dx² = 4/(2t + 1)³

    Entonces:

    1) La curva es cóncava (o cóncava hacia abajo) en -2 ≤ t < -1/2

    2) La curva es convexa (o cóncava hacia arriba) en -1/2 < t ≤ 2.

    Attachment image
  • hace 4 semanas

    Evaluamos X= t²+t, criterio de la primera derivada

    d/dt = 2t + 1

    evaluamos algunos datos:

    en t = -1

    d/dt(-1) = 2(-1)  + 1 = -1 la pendiente decreciente.

    en t = 1

    d/dt(1) = 2(1)  + 1 = 3 la pendiente creciente.

    //Concavidad

    Criterio de la segunda derivada.

    d²/dt = 2, es positivo por tanto la concavidad de la función es hacia arriba.

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