Anónimo
Anónimo preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 4 semanas

¿PROBLEMA DE OPTIMIZACION (DOY 5 ESTRELLAS)?

Sea "x" y "y" las medidas de los lados de un rectangulo inscrito en una circumferencia de diametro 2.

a) comprueva que la superficie del rectangulo, en función de x, es dada por la expresión : S(x) = √(4x^2-x^4)

b) calcula los valores de las medidas "x" y "y" por los cuales la superficie del rectangulo es maxima y calcula el valor de esta superficie maxima

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  • Anónimo
    hace 4 semanas
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    a) La superficie del rectángulo es:

    S(x,y) = xy

    Donde x e y son los lados de rectángulo (siempre positivos).

    La diagonal del rectángulo mide lo mismo que la longitud del diámetro del círculo, el cual divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos iguales. Por el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos:

    2² = x² + y²

    y² = 4 - x²

    y = √(4 - x²)

    Sustituyendo en la fórmula del área:

    S(x) = x√(4 - x²)

    S(x) = √(x²)√(4 - x²)

    S(x) = √(x²(4 - x²))

    S(x) = √(4x² - x⁴)

    b) Dado que S(x) es una función positiva, para hacer la función más manejable podemos elevar ambos lados al cuadrado y luego definir una nueva función.

    [S(x)]² = 4x² - x⁴

    f(x) = 4x² - x⁴

    La primera derivada de f(x) es:

    f'(x) = 8x - 4x³

    Después encontramos los puntos críticos.

    8x - 4x³ = 0

    4x (2 - x²) = 0

    4x = 0

    x = 0

    2 - x² = 0

    x² = 2

    x = ±√2

    Dado que x debe ser positiva, solo consideramos x = √2.

    La segunda derivada de f(x) es:

    f''(x) = 8 - 12x²

    Como f''(√2) < 0, hay un máximo en x = √2.

    Luego, las medidas del rectángulo que maximizan el área son:

    x = √2 unidades

    y = √(4 - (√2)²) = √2 unidades

    Eso significa que cuando la superficie es máxima el rectángulo es un cuadrado de lado √2. Sustituyendo en la fórmula de la superficie:

    S(√2) = √(4(√2)² - (√2)⁴)

    S(√2) = √(4 * 2 - 4)

    S(√2) = √4

    S(√2) = 2 u² ← superficie máxima

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