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Carlos preguntado en Sociedad y culturaToros · hace 2 años

¿Hola.... como se soluciona por inducción matemática: a + (a+d)+(a+2d) +...+ [a+(n-1)d] = n[2a+(n-1)d] / 2 ?

Les agradecería si me lo explican paso a paso.

2 respuestas

Calificación
  • hace 2 años
    Respuesta preferida

    HOLA CARLOS!

    Esto es la suma de los primeros n terminos de una progresion aritmetica con el primer termino "a" y diferencia etre terminos consecuivos "d"

    Vamos a demonstrarla por INDUCCION MATEMATICA

    P(n) ----> a + (a+d) + (a+2d) + .... + [a+(n - 1).d] = (n/2).[ 2a + (n - 1).d]

    Paso ①

    =======

    Comprobamos la proposicion P(n) para unos cuantos valores de "n"

    Voy a comprobar para mas valores asi te das cuenta como se hace .. porque veo que tenias una duda en el ejercicio anterior ...

    P(1) -----> a = (1/2).[2a + (1-1).d) ]

    .............. a = (1/2).[2a + 0]

    .............. a = (1/2).2a

    .............. a = a <----- Verdadero

    P(3) -----> a + (a + d) + (a + 2d) = (3/2).[ 2a + (3-1).d]

    ................................. 3a + 3d = (3/2).[2a + 2d]

    ................................ 3.(a + d) = (3/2).2(a + d)

    ................................ 3.(a + d) = 3.(a + d) <----- Verdadero

    P(5) ----> a + (a +d) + (a +2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = 5/2.(2a + (5-1).d]

    ......................................... 5a + 10d = 5/2.(2a + 4d)

    ......................................... 5.(a + 2d) = 5.(a + 2d) <--- Verdadero

    Paso ②

    ======

    Sea 1< k < n ....... naturales

    P(k) ---> a + (a + d) + (a + 2d) + ...... + [ a + (k-1).d] = (k/2).[2a + (k - 1).d ]

    Consideramos P(k) Verdadera y tenemos que demonstrar que si P(k) Verdadera implica P(k+1) Verdadera ...

    P(k+1) ---->

    a + (a+d) + (a+2d) + ....+ [a +(k-1).d] + [a + (k+1 -1).d] = (k+1)/2 .[2a + (k+1-1).d]

    ↑ ........... hasta aqui tenemos ........ ↑

    ↑_________ P(k) ________________↑ + [ a + k.d ] = (k + 1)/2 .[ 2a + k.d]

    .................... ↓

    ............... (k/2).[2a + (k - 1).d ] ............ + (a + kd) = (k +1).(2a + kd)/2

    k.(2a + kd - d) + 2.(a + kd) = (k + 1).(2a + kd)

    2ak + k²d - kd + 2a + 2kd = 2ak + k²d + 2a + kd

    ...............▬▬ ........ ▬▬

    fijate en los terminos semjantes ... (subrayados) de la parte izquerda

    ================================

    Informacion adicional :

    2kd - kd = ???? = kd .....los otros son iguales ...

    ================================

    2ak + k²d + 2a + kd = 2ak + k²d + 2a + kd ✔ <--------- VERDADERO

    ▬▬▬▬▬▬▬▬▬ ...▬▬▬▬▬▬▬▬▬

    Resulta la proposicion P(n) es verdadra para cualquier n ∈ ℕ

    Espero te sea de ayuda, Saludos !

  • Anónimo
    hace 2 años

    DEBES ORAR PARA ESE PROBLEMA Y LOS OBSTACULOS

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