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Nicolás preguntado en Ciencias y matemáticasFísica · hace 3 años

¿Ayuda, para sacar la cantidad de divisores de la siguiente expresion y hallar "n"?

Si M=11^n + 3x11^n+1 tiene 11 divisores mas que el divisor de todos los numeros entonces la suma de las cifras de m es

2 respuestas

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  • hace 3 años
    Respuesta preferida

    ---

    Hola, Nicolás:

    Por la redacción del enunciado parece obvio que hay algunas respuestas sugeridas entre las cuales elegir la correcta. Si las alternativas que he puesto no coinciden con las de tu ejercicio, dime cuáles son, por favor, así puedo corregirlas.

    He asumido que la 'x' es un signo de multiplicación, y que el segundo exponente es 'n + 1' y no 'n', como parece estar escrito.

    En el futuro, ten en cuenta esta diferencia:

    • 11^n + 1 = (11^n) + 1 = 11ⁿ + 1 → El exponente es 'n' (el 1 queda fuera del exponente). El 1 se suma a la potencia 11^n.

    • 11^(n + 1) = 11 elevado a la (n + 1) = 11⁽ⁿ⁺¹⁾ → Si se colocan paréntesis, queda claro que el exponente es 'n + 1'; no hay posibilidad de confusión.

    ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬

    ► EJERCICIO: Si M = 11ⁿ + (3 · 11⁽ⁿ⁺¹⁾) tiene 11 divisores más que el divisor de todos los números, entonces la suma de las cifras de M es:

    • A) 12

    • B) 10 ✔

    • C) 6

    • D) 100

    • E) 20

    ► SOLUCIÓN:

    Partamos de la expresión de M:

    M = 11ⁿ + (3 · 11⁽ⁿ⁺¹⁾)

    Descompongamos 11⁽ⁿ⁺¹⁾ en sus factores, aplicando la propiedad del producto de las potencias de igual base: para multiplicar 2 potencias de igual base se suman sus exponentes. Nos queda:

    M = 11ⁿ + (3 · 11ⁿ · 11¹)

    Cualquier número elevado a la 1 es igual a sí mismo:

    M = 11ⁿ + (3 · 11ⁿ · 11)

    Multipliquemos 3 y 11:

    M = 11ⁿ + (33 · 11ⁿ)

    Saquemos factor común 11ⁿ:

    M = 11ⁿ(1 + 33)

    Resolvamos la suma:

    M = 11ⁿ · 34

    Descompongamos el número 34 en sus factores primos:

    M = 11ⁿ · 2 · 17

    Podemos escribir esto como:

    M = 11ⁿ · 2¹ · 17¹

    La cantidad de divisores de un número se obtiene multiplicando los exponentes de los factores primos, aumentados (cada uno de ellos) en una unidad, según la siguiente propiedad.

    Propiedad: Si la descomposición canónica de un número N es:

    ______________

    | N = Aᵃ · Bᵇ · Cᶜ |

    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

    la cantidad total de divisores del número N está dada por:

    _________________________

    | CD(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1) | ← cantidad de divisores de N

    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

    donde:

    • N = número

    • CD(N) = cantidad total de divisores del número N

    • A, B, C = factores primos del número N

    • a, b, c = exponentes de los factores primos en la descomposición canónica del número N

    En este caso:

    M = 11ⁿ · 2¹ · 17¹

    Por lo tanto:

    • A = 11

    • a = n

    • B = 2

    • b = 1

    • C = 17

    • c = 1

    La cantidad de divisores de M es:

    CD(M) = (n + 1)(1 + 1)(1 + 1)

    CD(M) = (n + 1) · 2 · 2

    _______________

    | CD(M) = 4(n + 1) | ← cantidad de divisores de M

    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

    Por los datos del problema sabemos que M tiene 11 divisores más que el divisor de todos los números. El divisor de todos los números es el número 1, ya que todos los números son divisibles por la unidad. A su vez, el número 1 tiene un solo divisor (que es 1), por lo tanto:

    CD(M) = 1 + 11

    CD(M) = 12

    M tiene 12 divisores. Reemplacemos CD(M) por 12 en la expresión que acabamos de hallar:

    12 = 4(n + 1)

    Debemos despejar 'n'. Distribuyamos:

    12 = 4n + 4

    Pasemos el 4 restando al 1° miembro:

    12 – 4 = 4n

    8 = 4n

    Pasemos el 4 dividiendo al 1° miembro:

    8/4 = n

    2 = n

    ______

    | n = 2 |

    ¯¯¯¯¯¯

    Con este valor de 'n' podemos calcular M usando la fórmula:

    M = 11ⁿ + (3 · 11⁽ⁿ⁺¹⁾)

    Reemplazando 'n' por 2, queda:

    M = 11² + (3 · 11⁽²⁺¹⁾)

    M = 11² + (3 · 11³)

    Operemos:

    M = 121 + (3 · 1331)

    M = 121 + 3993

    _________

    | M = 4114 |

    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯

    Por último, hallemos la suma de las 4 cifras de M:

    Suma de las cifras de M = 4 + 1 + 1 + 4

    _________________________

    | Suma de las cifras de M = 10 | ◄

    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

    RESPUESTA: Si M = 11ⁿ + (3 · 11⁽ⁿ⁺¹⁾) tiene 12 divisores, la suma de sus cifras es 10.

    NOTA: Si tienes dificultades con este tema, puedes consultar estas páginas:

    • Cálculo de los divisores de un número

    http://www.edu.xunta.gal/centros/iesagraraices/sys...

    • NÚMEROS PRIMOS - EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF

    http://matematicasn.blogspot.com.ar/2016/01/numero...

    Por alguna razón que desconozco, la segunda página es un poco desprolija y está muy desordenada, pero tiene mucha información útil y un montón de problemas resueltos.

    Saludos. 😏

    ----------------

    .

  • hace 3 años

    Antes que nada Muchísimas Gracias por haberte tomado tu tiempo por otra persona!! Me sirvio muchisimo tu explicación... No sabes cuanto te lo agradezco!!

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