Tamahara preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 6 años

¿Cómo podría integrar lo siguiente?

Buen día, no suelo pedir ayuda en YR pero en esta ocasión no pude con esto. ¿Podrían ayudarme? Adjunto una imagen de una integral, en serio que es fácil (tan fácil que ya no pude). ¿Alguna solución de cómo podría llevarla a cabo?

∫e^x/a^x

Primero, hice cambio de variable en a^x.

Pero llegó un punto en que ya no pude seguir.

Les agradecería muchísimo.

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1 respuesta

Calificación
  • EGPRC
    Lv 6
    hace 6 años
    Respuesta preferida

    Es más fácil viendo que e^x / a^x = (e/a)^x

    Supongamos que u = e/a, por lo que la integral que tienes es de u^x dx

    Debes saber que la derivada de u^x es u^x * Ln(u) <=== Dejo la demostración al final.

    ∫ e^x/ a^x dx =

    ∫ u^x dx = ........................ hacemos aparecer su derivada.

    ∫ u^x * (Ln(u) / Ln(u) ) dx =

    (1/Ln(u)) * ∫ u^x * Ln(u) dx =

    (1/Ln(u)) * u^x + C=

    u^x/ Ln(u) + C = .............. devolvemos el cambio

    (e/a)^x / Ln(e/a) + C =................. se puede seguir manipulando esta expresión si se desea.

    (e/a)^x /[Ln(e) - Ln(a)] + C =

    (e/a)^x /[1-Ln(a)] + C

    =================================

    La demostración que prometí:

    y = u^x ............... se puede hacer una manipulación: u^x = e^(Ln(u^x)), porque la base de Ln es "e".

    y = e^(Ln(u^x)) .............. por propiedades de logaritmos, Ln(u^x) = xLn(u)

    y = e^(x*Ln(u))

    Derivando:

    y' = e^(x*Ln(u)) * (x*Ln(u))' .......... esto porque (e^x)' = e^x, y luego se aplica regla de la cadena.

    y' = u^x * Ln(u)

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