¿Calculo. Es cierto esto?

Question

Ya estoy grande, pero me acuerdo que en la Preparatoria el maestro nos daba un pedazo rectangular de carton y nosotros teniamos que hacer una caja de modo que tuviera la maxima capacidad

Usabamos calculo integral y diferencial. Siempre me sorprendió que con el mismo pedazo de cartón se pudieran hacer cajas de diferente volumen. Ya no me acuerdo de como lo hacia.

Solo que quería contarle esto a mis hijos y decirles que con el calculo se puede, pero no estoy seguro de que sea cierto.

Ya no me acuerdo

Answer 1

Respuesta preferida

Así es, luego te lo explico. (las ecuaciones que pone la ardilla no estoy seguro que sean correctas). Lo dicho, luego te lo explico.

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Lo prometido es deuda.

Como te decía, Ardilla te ha contestado pero no tengo claro que la ecuación que te ha puesto sea la correcta. Intentaré ser más claro que "ella" a ver si llegamos a lo mismo o no.

El concepto de los cuadrados en las esquinas es el mismo, entonces partimos de unos valores fijados que serán los lados del rectángulo. Estos valores los llamaremos a, y b.

Tengamos claro que cuando hablamos de maximizar la capacidad hablamos de maximizar el volumen.

Dicho esto, si restamos estos cuadraditos de las 4 esquinas, donde la longitud del cuadradito la llamaremos x (pues desconocemos qué longitud de este cuadrado hace la capacidad máxima). Entonces un lado del rectángulo ya no me dirá (a), sino que medirá (a-2x) (restamos los cuadrados de las dos esquinas), de la misma forma que el lado (b) ahora medirá (b-2x).

Bien esto es mucho más comprensible con un dibujo como debería ser pero espero que no tengas dificultad.

Entonces este valor x , haciendo el doblez del rectángulo vemos que corresponderá a la altura de este.

Luego calculando el volumen del rectángulo (producto de los dos lados multiplicado por la altura), tenemos que :

V= (a-2x).(b-2x).x ,

desarrollando ->

V=(abx - 2ax² - 2bx² + 4x³)->

-> V= 4x³ - 2x²(a+b) + abx

Con esta ecuación bien estructurada podemos aplicar ahora el concepto de derivada e igualar a 0 para buscar los valores óptimos, esto es:

V'=0 -> 12x² - 4(a+b)x +ab = 0

Resolviendo esta ecuación de segundo grado:

x = 4(a+b) +- √ [16 (a+b)² - 4.12.ab] / (24) ; todo del corchete dentro de la raíz.

operando:

x= 4(a+b) +- √ [16 (a²+b²-ab) ] / 24

x= 4(a+b) +- 4.√ [(a²+b²-ab) ] / 24

x= (a+b) +- √ [(a²+b²-ab) ] / 6

Podemos utilizar el criterio de la segunda derivada para saber los valores de x obtenidos que hacen que la segunda derivada V'' sea menor que cero y, por lo tanto, máximo.

V'= 12x² - 4(a+b)x +ab

V''= 24x - 4(a+b)

La condición de máximo es que V''<0 , luego :

24x - 4(a+b) < 0

24x < 4(a+b) ; sustituyendo el valor de x óptimo :

24.[ (a+b) +- √ [(a²+b²-ab) ] / 6] < 4(a+b)

(24/6) .[ (a+b) +- √ [(a²+b²-ab) ] <4(a+b)

4 .[ (a+b) +- √ [(a²+b²-ab) ] < 4(a+b)

Como podemos ver, la condición necesaria para que la parte izquierda sea menor que 4(a+b) es que la raíz cuadrada tenga delante el signo menos, es decir :

4(a+b) - 4√ [(a²+b²-ab) < 4(a+b) -> OK

Luego las soluciones que nos harán máximo el volumen son los valores de x tales que.

x= (a+b) - √ [(a²+b²-ab) ] / 6

Comprobación.

Si los lados del rectángulo fueran de 16 y 21 cm , el valor de x que hace máximo el volumen debería ser x=3.

Veamos si es cierto:

a=16 ; b=21

x= [37 - √ 361] / 6

x= (37 - 19) / 6

x= 18/6

x= 3 Máximo.

Y ahora podríamos calcular el volumen máximo, ..

En cualquier caso, podemos ver lo que queríamos demostrar, que la expresión final es correcta.

Saludos

Javi.

Answer 2

Sí, es una de las aplicaciones clásicas del cálculo diferencial.

Si haces la caja con un rectangulo que mide a x b, donde a y b son las medidas de la base y la altura y son valores conocidos, y cortas cuadrados iguales de las esquinas (para doblar los lados hacia arriba y formar la caja), y los cuadrados que recortas miden z de lado, donde z puede variar, entonces el volumen de la caja esta dado por,

V= abz-az^2-bz^2+z^3

Donde, repito, a y b son constantes, es decir tienen valores conocidos y z es la variable.

entonces el volumen máximo se encuentra obteniendo la derivada de la función, es decir

V'=ab-2az-2bz+3z^2

e igualando a cero

0=ab-2az-2bz-3z^2

Finalmente se resuelve esa ecuación para hallar ambos valores de z, uno corresponde al volumen mínimo que debe ser el volumen cero y el otro corresponde al volumen máximo.

Lamento no ser mas explicito pero puedes encontrar este tipo de problemas en youtube o en textos de cálculo.

Saludos !