? preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 8 años

¿como se resuelve esto de calculo?

hola atodos me podrian ayudar como se desarrolla este problema de calculo usando el teorema del valor intermedio y el de rolle para mostrar que f(x)= x^3 + 2x + kcruza el eje de las x exactamente una vez sin importar la constante de la k. se los agradecería mucho doy maxima puntuacion

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  • hace 8 años
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    Hola!!

    Lo mostraremos a partir de dos cuestiones:

    1º) El cumplimiento del teorema del valor intermedio (existencia de raiz).

    2º) El suponer que no es única permitirá usando el Teorema de Rolle llegar a una contradicción lógica, lo que significará que sí es única.

    ➲ Veamos 1º) : Mostramos que existe al menos una raiz (cruza al eje x al menos una vez)

    El teorema del valor intermedio indica que:

    "Sea f una función continua en un intervalo cerrado [ a , b ]; entonces para cada u del intervalo [ f(a) , f(b) ] (es decir, para cada u comprendido entre f(a) y f(b)), existe al menos un c en el intervalo ( a , b ) tal que f(c)=u"

    Bajo esa condiciones existirá c en dicho intervalo cuya imágen es u.

    La idea sería ENCONTRAR O PROPONER un intervalo [a,b] de tal manera que u=0 esté comprendido entre f(a) y f(b); y con ello aseguramos por este teorema que existe c (raíz) en (a,b) tal que f(c)=0. Comprendes?

    Como la función es polinómica, entonces es continua en todo su dominio, así que está asegurado con ello que será continua en el intervalo [a,b] que determinaremos.

    Fíjate que la constante "k" es la ordenada al origen de la función, es decir que f(0)=k (puedes comprobarlo reemplazando x por 0 en la fórmula de f) y supongamos que:

    ❶ k > 0.

    Determinemos ingeniosamente a f(-k/2), esto es:

    f(-k/2)=(-k/2)^3 + 2(-k/2) + k = (-1/8)k^3

    Este valor -k/2 lo elegí para asegurarme que f(-k/2) sea menor que cero, pues mostremos que es así lo que nos permitirá asegurar luego que 0 está comprendido entre f(-k/2) y f(0).

    → como k > 0 → k^3 > 0 → (-1/8)k^3 < 0

    Por lo tanto f(-k/2) = (-1/8)k^3 < 0 < k = f(0) [0 está entre f(-k/2) y f(0)]

    Con todo esto podemos decir que:

    ♦Los valores -k/2 y 0 me permiten considerar el intervalo ➪ [ -k/2 , 0 ]

    ♦El valor u=0 está en el intervalo ➪ [ f(-k/2) , f(0) ]

    ♦ f es continua en el intervalo [ -k/2 , 0 ] por ser función polinómica.

    Luego, reunidas las condiciones, podemos asegurar por el teorema que existe c en (-k/2 , 0) tal que f(c)=0. Es decir existe al menos una raiz.

    ❷ k = 0.

    Si k es cero, como es la ordenada al origen, eso significa directamente que 0 es raiz de f en este caso.

    ❸ k < 0.

    En este caso (y de forma análoga al caso ❶) tomando también el valor -k/2 se determina que su imágen es positiva, es decir que f(-k/2) > 0; y por lo tanto:

    f(0) = k < 0 < (-1/8)x^3 = f(-k/2) [0 está entre f(0) y f(-k/2)]

    Concluyendo que:

    ♦Los valores 0 y -k/2 me permiten considerar el intervalo ➪ [ 0 , -k/2 ]

    ♦El valor u=0 está en el intervalo ➪ [ f(0) , f(-k/2) ]

    ♦ f es continua en el intervalo [ 0 , -k/2 ] por ser función polinómica.

    Luego, reunidas las condiciones, podemos asegurar por el teorema que existe c en ( 0 , -k/2 ) tal que f(c)=0. Es decir existe al menos una raiz en este caso.

    ➲ Veamos 2º): Mostramos que la raiz c es única en el intervalo dado

    El teorema de Rolle estable que:

    " Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b), si f(a)=f(b) entonces existe d en (a,b) tal que f '(d)=0 "

    Sabemos que f es derivable en todo su dominio por ser polinómica, por lo tanto es continua en todo su dominio, y entonces será continua en [a,b] y derivable en (a,b) cualesquiera sean dichos intervalos. Mostremos que la raiz c de los casos anteriores es única.

    Supongamos que no es única y lleguemos a una contradicción. Si c no es única entonces existe al menos otra raiz "t" tal que f(t)=0. Tenemos entonces que:

    f(t)=f(c)=0 con t≠c ⋯⋯⋯ [1]

    Si ahora consideramos el intervalo [t,c] (o [c,t] según sea t mayor o menor que c); como f es continua en [t,c] y derivable en (t,c) y tal que f(t)=f(c) (por [1]) entonces según el teorema de Rolle podemos concluir que existe d en (t,c) tal que f '(d)=0.

    f '(d)=0 → 3d^2 + 2 = 0 [derivando f] → d^2 = -2/3

    Pero no existe ningún número real d tal que d^2=-2/3, lo cual es contradictorio pues concluimos por el Teorema de Rolle que si existe d tal que f '(d)=0 y por otra parte vemos que no es posible pues dicho número real debería verificar que d^2=-2/3.

    Como la contradicción provino de suponer que la raiz c no es única, entonces la conclusión final es que sí es única.

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    Mostramos de esta forma que independientemente del valor de la constante k, la gráfica de f siempre corta al eje "x" sólo una vez.

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    ⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷⊶⊷

    Fuente(s): Claudia
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