¿aplicando el teorema del valor intermedio necesito demostrar que existe una raiz de la ecuacion cos(x)=x?

en el intervalo (0,1)(abierto)

2) si a y b son positivos, comprobar que la ecuacion

a b

------------------- + -----------------=0 tiene por lo menos una solucion en el intervalo (-1,1)

x^3+2x^2-1 x^3+x-2

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  • hace 1 década
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    cos(x) = x

    Hagamos

    f(x) = cos(x) - x

    Veamos cuándo es esa función creciente y cuando decreciente, y veamos si podemos acomodar eso al intervalo dado.

    Sabemos que f(x) es creciente donde su derivada f '(x) sea positiva, entonces:

    f '(x) = -sen(x) - 1

    ¿Cuándo es positiva?

    f '(x) > 0

    -sen(x) - 1 > 0

    -1 > sen(x)

    sen(x) < -1

    ¡El seno de un ángulo cualquiera NUNCA es menor que -1! Entonces se concluye que la función nunca es creciente y por consiguiente SIEMPRE es decreciente [exceptuando aquellos puntos críticos en los que sen(x) = -1 en donde la curva tiene una inflexión]. Como la función es estrictamente decreciente (piensa en algo similar a una recta de la forma \) entonces necesariamente cruzará al eje de las X en un solo punto; y hemos empezado bien nuestra demostración.

    Ahora bien, f(x) es continua y derivable en todos los reales, luego las condiciones del teorema del valor medio se cumplen para todos los reales, y en particular para el intervalo (0, 1). Ahora apliquémoslo:

    f '(c) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a)

    Acá tenemos que

    a = 0

    b = 1

    y por tanto

    f '(c) = [ f(1) - f(0) ] / (1 - 0)

    f '(c) = { [ cos(1) - 1 ] - [ cos(0) - 0 ] } / 1

    f '(c) = cos(1) - 1 - cos(0)

    {recuerda que por convención trabajamos los ángulos de las funciones trigonométricas en radianes}

    f '(c) = 0,5403 - 1 - 1

    f '(c) = -1,4597

    -sen(c) - 1 = -1,4597

    1,4597 - 1 = sen(c)

    0,4597 = sen(c)

    arcsen(0,4597) = arcsen[ sen(c) ]

    0,4777 = c

    y hemos demostrado que efectivamente hay un único valor "c" que cumple

    a < c < b

    0 < 0,4777 < 1

    De otra forma más simple, por el teorema de Bolzano:

    f(a) = f(0) = 1; f(a) > 0

    f(b) = f(1) = -0,4597; f(b) < 0

    Como la función es estrictamente decreciente (salvo puntos de inflexión) y f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces necesariamente en algún punto del intervalo (a, b) hay un "c" para el cual f(c) = 0.

    ============

    . . . . . . . . a . . . . . . . . .b

    f(x) = ----------------- + -------------- ; a > 0; b > 0

    . . . . .x³ + 2x² - 1 . . x³ + x - 2

    Primero debemos verificar que la función sea continua en el intervalo cerrado [-1, 1]. Esto no es así porque tanto en -1 como en 1 la función tiene asíntotas; además las tiene también en

    x = (-1 + √5) / 2

    debido a:

    x³ + 2x² - 1 = (x + 1)(x² + x - 1) = (x + 1){ x - [ (-1 + √5) / 2 ] }{ x - [ (-1 - √5) / 2 ] }

    y se observa que

    -1 < [ (-1 + √5) / 2 ] < 1

    Como la función no es continua en estos 3 valores del intervalo dado entonces se concluye que en general la función no es continua en el intervalo y por lo tanto no cumplimos las condiciones mínimas para aplicar los teoremas.

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