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Mr. Putin preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 1 década

Y..calculo de nuevo...?

Otra vez mi famosisima guia...

De una hoja de cartón de 18x18 pulgadas, deben ser recortados cuadrados iguales en las esquinas de tal modo que doblando la hoja, resulte una caja que tenga la mayor capacidad posible.¿Cuanto debe medir cada recorte tomando en cuenta que debe ser una caja cerrada?

Sol: 3 pulgadas

Tiene que ver con maximos y minimos pero no lo logro visualizar ):

me explican como se resuelve?

2 respuestas

Calificación
  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    Calculemos la función volumen. No puedo hacer un dibujo, así que imaginalo. Tengo la hoja de carton y marco 4 cuadrados, uno en cada vértice de lado x. Entonces el largo en el medio que me quedo tiene que ser 18 - 2x (porque a cada lado le saco dos cuadrados de largo x).

    Ahora 18 - 2x va a ser, cuando doble por los cuadrado cortados los lados de la base de la caja y la altura de la caja será x.

    El volumen de la caja es

    V = Abase * Altura

    Abase = (18 - 2x)*(18 - 2x)

    Entonces el volumen es

    V = (18 - 2x)*(18 - 2x)*x

    Distribuyo y resuelvo

    V = (324 -36x - 36x +4x^2)*x

    V = (324 - 72x + 4x^2)* x

    V = 324x - 72x^2 + 4x^3

    Ahora para hallar máximos y mínimos busco la derivada V'

    V' = 324 - 144x + 12x^2

    Los puntos críticos están donde la derivada se hace 0

    324 - 144x +12x^2 = 0

    Hallo las raíces

    (144 +- Raíz( 144^2 - 4 * 12 *324))/24

    x1 = (144 + 72)/24 = 9

    x2 = (144 - 72)/24 = 3

    Ahora tenemos que ver que es cada punto. Para esto calculamos la derivada segunda V''

    V'' = 24x -144

    Reemplazamos x por las raíces

    Si x = 9

    V'' = 24*9 - 144 = 72 Es positiva, por lo tanto en 9 hay un mínimo

    Si x = 3

    V'' 24*3 - 144 = -72 Es negativa por lo tanto es un máximo y es el valor que estabamos buscando.

    Aclaración: Fijate que 9 tiene que ser un mínimo porque 9 es la mitad del lado y si cortas los cuadrados de 9 pulgadas a la caja no le queda base, por lo tanto su volumen es 0

    Espero haya sido claro y te ayude

  • hace 1 década

    la capacidad de la caja viene dada por el volumen. EL volumen es el área de la base por la altura.

    es decir:

    A x h=vol

    si a cada esquina de la hoja le quitas un cuadrado de L x L, el área de la base de la caja será

    A = (18 - 2L) x (18 -2L) = 324 - 72L + 4L^2

    y la altura será h= L

    entonces el volumen será

    (324 - 72L + 4L^2) * L= vol

    324 L -72 L^2 + 4L^3= vol

    los máximos y mínimo de una función se encuentran cuando su derivada es igual a cero, es decir para que el volumen sea maximo, la derivada de este volumen debe ser cero.

    d(vol) /dL = 0

    324 - 144 L + 12L^2= 0

    Ahora hay que despejar L de esta ecuación de 2do grado. usando cualquier método que conozcas. en este caso con la fórmula general.

    L=9

    L=3

    De estos valores uno te da el volumen máximo y otro el mínimo.

    Si tomamos el valor 9 el volumen sería cero, puesto que la hoja mide 18, entonces el máximo volumen te lo da un corte de 3 pulgadas.

    Espero que te sirva

    Fuente(s): ya había resuelto un problema así antes, tal vez te sirva verlo <http://ar.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=Am...
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