Venito preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 1 década

que es la media? y el error absoluto medio?

necesito muchos detalles y ejemplos si es posible

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  • hace 1 década
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    Son dos definiciones de estadística, muy usados en mediciones experimentales y análisis poblacionales. Te voy a explicar desde la aplicación experimental, que me es más familiar.

    Supongamos que queremos medir una magnitud, por ejemplo un tiempo. Supongamos que dejo caer una pelota desde cierta altura fija, y mido el tiempo que tarda en caer, es decir con un cronómetro empiezo a contar desde que suelto la pelota hasta que toca el suelo. Según mi modelo físico matemático, la pelota tarda siempre el mismo tiempo en caer, pero cuando repito el experimento me doy cuenta de que no obtuve el mismo tiempo en el cronómetro. Esto se debe a que existen errores en la medición que cometí, o que no puedo controlar. Los errores más significativos son:

    - Error de apreciación del instrumento: el cronómetro no me permite distinguir, por ejemplo, más de una décima de segundo.

    - Error sistemático: algún error en la interacción con el aparato, como por ejemplo, el tiempo de reacción de mi cerebro para detener el cronómetro.

    - Errores arbitrarios: errores cuya causa no se conoce.

    Nosotros podemos predecir los 2 primeros errores, pero los terceros no hay manera de conocerlos a priori. Aquí es donde aparece la estadística.

    Digamos que realizo el experimento N veces, obteniendo N tiempos con el cronómetro. Los tiempos variarán más o menos en cada medición. Ahora me interesa encontrar un valor más representativo de los N valores. Llamamos desviación ε a la distancia de cada valor "xi" al valor representativo "xm". Elevamos ε para que la diferencia sea positiva siempre, entonces:

    ε1² = (xm-x1)²

    ε2² = (xm-x2)²

    . . .

    εn² = (xm-xn)²

    Si sumamos todos los εi², esto nos dará una buena idea de como fluctúan los datos con respecto a xmed.

    . . . . . . . . . . . . . N . . . .N . . . . . . . .N

    ε1²+ε2²+...+εn² = ∑ εi² = ∑ (xm-xi)² = ∑(xm² - 2xmxi + xi²)

    . . . . . . . . . . . . i=1. . . i=1. . . . . . . i=1

    Nos interesa para esta suma un valor xm que tenga sentido, es decir que la suma sea la mínima posible. Con el método de la derivada, encontramos el mínimo derivando con respecto a xm, entonces:

    . N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N

    d∑(xm² - 2xmxi + xi²)/dxm = 2Nxm -2∑xi = 0

    i=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i=1

    . . . . . . . . . . . . .N

    Luego, xm = 1/N ∑xi

    . . . . . . . . . . . . .i=1

    De esta forma ahora sabemos que el valor más representativo de todos los valores es -- la suma de todos los valores dividido la cantidad de valores --. Esa es la media aritmética o valor más probable.

    ----

    Ahora tenemos que encontrar un número que nos diga que tan buena o mala es nuestra medición. Volvemos a las desviaciones ε². Si sumamos todas las desviaciones, puede resultar un número muy grande, para un número N grande de mediciones, que no tiene mucho sentido. Dividimos la suma de los ε² por N, para deshacernos de N. Este valor se llama varianza v.

    . . . . . . .N

    v = 1/N · ∑(xm-xi)²

    . . . . . . i=1

    Para una mejor aproximación del error calculamos la raíz cuadrada. La raíz de la varianza se conoce como desviación estándar, error estándar, error medio, error cuadrático estándar, error absoluto medio, etc. y se escribe σ.

    . . . . . . . . N

    σ = √[1/N · ∑(xm-xi)²]

    . . . . . . . . i=1

    Entonces el error estándar es -- la raíz cuadrada de 1/N por la suma de todos los errres cuadráticos.

    Ejemplo: calcular media y error de la serie de mediciones.

    Como en el ejemplo del cronómetro:

    Tiempo (s)

    5.6

    5.2

    5.8

    5.6

    5.6

    5.7

    5.9

    5.3

    Resolución:

    Según la fórmula de media, sumamos todos los datos

    5.6+5.2+5.8+5.6+5.6+5.7+5.9+5.3 = 44.7

    Dividimos por la cantidad de datos (8)

    44.7/8 ≅ 5.6 = xm

    Así obtenemos la media aritmética.

    Para el error calculamos las desviaciones cuadráticas:

    (5.6-5.6)² = 0

    (5.6-5.2)² = 0.16

    (5.6-5.8)² = 0.04

    (5.6-5.6)² = 0

    (5.6-5.6)² = 0

    (5.6-5.7)² = 0.01

    (5.6-5.9)² = 0.09

    (5.6-5.3)² = 0.09

    Sumamos todas las desviaciones cuadráticas

    0.16+0.04+0.01+0.09+0.09 = 0.39

    Dividimos por N (8)

    0.39/8 ≅ 0.049

    Sacamos raíz cuadrada y tenemos el error:

    σ = √0.049 ≅ 0.2

    Nota: para los cálculos se usa una calculadora científica con modo estadístico. Se cargan los datos y la calculadora hace las cuentas. Para σ generalmente hay un botón Xσn.

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