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Anónimo
Anónimo preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 1 década

Progresión Aritmética?

Hola otara vez.

Este problema ya lo resolví pero creo que está mal y me gustaría que me dijeran si lo resolví bien o en qué estuve mal.

"Hallar un número de 4 cifras cuyos dígitos son 4 términos consecutivos de una progresión aritmética. La suma de los 4 términos es 16 y el 3er término más el 4º término suman 12"

Entonces hice lo siguiente (lo resumiré).

Anoté los datos que son: Sn=16 n=4 y d=6 (según yo)

De la fórmula Sn= [n(2a+(n-1)d]/2 despejé a para obtener el primer término y el resultado fue -5.

Después usé la fórmula para obtener el enésimo término: an=a+(n-1)d y el resultado que obtuve fue 13.

Por último utilicé la fórmula para obtener la diferencia: d=an-a/n-1 y obtuve que la diferencia es de 6.

Entonces la progresión queda: -5,1,7,13

Y la suma de éstos nos da 16 tal y como pide el problema pero no se si esté bien.

Por favor corríjanme si estoy mal en algo.

Gracias :)

5 respuestas

Calificación
  • Anónimo
    hace 1 década
    Respuesta preferida

    Al ser pocos términos, en lugar de usar la fórmula de la suma, podemos plantearlo a partir de la definición de progresión aritmética.

    Primer término = a

    Segundo término = a + d

    Tercer término = a + 2d

    Cuarto término = a + 3d

    La suma de los cuatro es 16. Entonces,

    a + (a+d) + (a+2d) + (a+ 3d) = 16

    4a + 6d = 16

    También sabemos que el tercero y el cuarto suman 12, o sea,

    (a+2d) + (a+3d) = 12

    2a + 5d = 12

    Formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

    4a + 6d = 16

    2a + 5d = 12

    Despejamos "d" en ambas ecuaciones e igualamos.

    (16 - 4a)/6 = (12 - 2a)/5

    5·(16 - 4a) = 6·(12 - 2a)

    80 - 20a = 72 - 12a

    -20a + 12a = 72 - 80

    -8a = -8

    a = 1

    Ahora, hallamos la diferencia, d = (16 - 4·1)/6 = 2

    Entonces, obtenemos:

    Primer término = a = 1

    Segundo término = a + d = 1 + 2 = 3

    Tercer término = a + 2d = 1 + 2·2 = 5

    Cuarto término = a + 3d = 1 + 3·2 = 7

    RESPUESTA. El número de cuatro cifras es 1357

  • hace 1 década

    Progresión aritmética de 4 términos, suma=16; 3° y 4° términos suman 12:

    a+(a+n)+(a+2n)+(a+3n)=16;

    1) 4a+6n=16; simplifico por 2:

    2a+3n=8

    (a+2n)+(a+3n)=12;

    2) 2a+5n=12

    Resto MaM 1) de 2):

    0a + 2n=4;

    n=2

    Reemplazo en: 2a+3n=8

    2a+6=8;

    a=1

    Conociendo a y n, tu progresión es:

    1;3;5;7

    Corroboro: 1+3+5+7=16

    5+7=12

  • gloria
    Lv 5
    hace 1 década

    ¿de dónde sacaste d = 6?

    veamos:

    a3 = a1 + (3 - 1)d = a1 + 2d (1)

    a4 = a1 + (4 - 1)d = a1 + 3d (2)

    por otro lado a3 + a4 = 12 (3)

    y

    Sn = (a1 + a4)n/2 (OJO CON LO QUE VOS ESCRIBISTE!!)

    16 = (a1 + a1 + 3d)4/2 = (2a1 + 3d)2 = 4a1 + 6d

    a1 = 4 - 3/2 d (4)

    quedan 4 ecuaciones con 4 incógnitas (a1,a3,a4 y d)

    (4) en (1)

    a3 = 4 - 3/2d + 2d = 4+ 1/2d

    (4) en (2)

    a4 = 4 - 3/2d + 3d = 4 + 3/2d

    aplicando (3)

    4 + 1/2d + 4 + 3/2d = 12

    8 + 2d = 12 ==> 2d = 4 ==> d = 2

    a4 = 4 + 3/2d = 4 + 3/2 . 2 = 7

    (3) a3 = 5

    a2 = 3

    a1 = 1

    VERIFICALO!!!

    Fuente(s): experiencia
  • Nelson
    Lv 7
    hace 1 década

    a1 + a2 + a3 + a4 = 16

    a3 + a4 = 12

    a1 + ( a1 + d ) + ( a1 + d + d) + ( a1 + d + d + d ) = 16

    ( a1 + d + d) + ( a1 + d + d + d ) = 12

    4a1 + 6d = 16

    2a1 + 5d = 12

    multiplicando la segunda ecuacion por 2:

    4a1 + 6d = 16

    4a1 + 10d = 24

    restando:

    - 4d = - 8

    d = 2

    despejando a1:

    4a1 + 10d = 24

    4a1 + 10*2 = 24

    4a1 + 20 = 24

    4a1 = 24 - 20

    4a1 = 4

    a1 = 1

    luego los numeros son

    a1 =1

    a2 = 3

    a3 = 5

    a4 = 7

    y el numero de 4 cifras pedido es:

    1357

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  • hace 1 década

    HOLA !!!

    El numero es :

    1357 <--------- RESPUESTA

    Sabemos:

    a1 + a2 + a3 + a4 = 16

    a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + (a1 + 3d) = 16

    4a1 + 6d = 16

    ___________

    2a1 + 3d = 8 |

    ___________| ----> 2a1 = 8 - 3d <--- ❶

    Tambien sabemos :

    a3 + a4 = 12

    (a1 + 2d) + (a1 + 3d) = 12

    ____________

    2a1 + 5d = 12 |

    ____________| ---> 2a1 = 12 - 5d <--- ❷

    De ❶; ❷ resulta :

    8 - 3d = 12 - 5d

    5d - 3d = 12 - 8

    2d = 4

    _____

    d = 2 |

    _____| <----- la distancia entre terminos consecutivos

    reemplazamos "d "en una de las 2 ecuaciones :

    2a1 = 8 - 3d

    2a1 = 8 - 3*2

    2a1 = 8 - 6

    2a1 = 2

    ______

    a1 = 1 |

    ______| <----- el primer termino de la progresion

    Resulta la progresion es :

    1 ...... 3 ....... 5....... 7

    Resulta el numero de 4 digitos es:

    _____

    1 357 |

    _____| <---------------- RESPUESTA

    SUERTE !!!

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