Progresión Aritmética?

Question

Hola otara vez.

Este problema ya lo resolví pero creo que está mal y me gustaría que me dijeran si lo resolví bien o en qué estuve mal.

"Hallar un número de 4 cifras cuyos dígitos son 4 términos consecutivos de una progresión aritmética. La suma de los 4 términos es 16 y el 3er término más el 4º término suman 12"

Entonces hice lo siguiente (lo resumiré).

Anoté los datos que son: Sn=16 n=4 y d=6 (según yo)

De la fórmula Sn= [n(2a+(n-1)d]/2 despejé a para obtener el primer término y el resultado fue -5.

Después usé la fórmula para obtener el enésimo término: an=a+(n-1)d y el resultado que obtuve fue 13.

Por último utilicé la fórmula para obtener la diferencia: d=an-a/n-1 y obtuve que la diferencia es de 6.

Entonces la progresión queda: -5,1,7,13

Y la suma de éstos nos da 16 tal y como pide el problema pero no se si esté bien.

Por favor corríjanme si estoy mal en algo.

Gracias :)

Answer 1

Respuesta preferida

Al ser pocos términos, en lugar de usar la fórmula de la suma, podemos plantearlo a partir de la definición de progresión aritmética.

Primer término = a

Segundo término = a + d

Tercer término = a + 2d

Cuarto término = a + 3d

La suma de los cuatro es 16. Entonces,

a + (a+d) + (a+2d) + (a+ 3d) = 16

4a + 6d = 16

También sabemos que el tercero y el cuarto suman 12, o sea,

(a+2d) + (a+3d) = 12

2a + 5d = 12

Formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

4a + 6d = 16

2a + 5d = 12

Despejamos "d" en ambas ecuaciones e igualamos.

(16 - 4a)/6 = (12 - 2a)/5

5·(16 - 4a) = 6·(12 - 2a)

80 - 20a = 72 - 12a

-20a + 12a = 72 - 80

-8a = -8

a = 1

Ahora, hallamos la diferencia, d = (16 - 4·1)/6 = 2

Entonces, obtenemos:

Primer término = a = 1

Segundo término = a + d = 1 + 2 = 3

Tercer término = a + 2d = 1 + 2·2 = 5

Cuarto término = a + 3d = 1 + 3·2 = 7

RESPUESTA. El número de cuatro cifras es 1357

Answer 2

Progresión aritmética de 4 términos, suma=16; 3° y 4° términos suman 12:

a+(a+n)+(a+2n)+(a+3n)=16;

1) 4a+6n=16; simplifico por 2:

2a+3n=8

(a+2n)+(a+3n)=12;

2) 2a+5n=12

Resto MaM 1) de 2):

0a + 2n=4;

n=2

Reemplazo en: 2a+3n=8

2a+6=8;

a=1

Conociendo a y n, tu progresión es:

1;3;5;7

Corroboro: 1+3+5+7=16

5+7=12

Answer 3

¿de dónde sacaste d = 6?

veamos:

a3 = a1 + (3 - 1)d = a1 + 2d (1)

a4 = a1 + (4 - 1)d = a1 + 3d (2)

por otro lado a3 + a4 = 12 (3)

y

Sn = (a1 + a4)n/2 (OJO CON LO QUE VOS ESCRIBISTE!!)

16 = (a1 + a1 + 3d)4/2 = (2a1 + 3d)2 = 4a1 + 6d

a1 = 4 - 3/2 d (4)

quedan 4 ecuaciones con 4 incógnitas (a1,a3,a4 y d)

(4) en (1)

a3 = 4 - 3/2d + 2d = 4+ 1/2d

(4) en (2)

a4 = 4 - 3/2d + 3d = 4 + 3/2d

aplicando (3)

4 + 1/2d + 4 + 3/2d = 12

8 + 2d = 12 ==> 2d = 4 ==> d = 2

a4 = 4 + 3/2d = 4 + 3/2 . 2 = 7

(3) a3 = 5

a2 = 3

a1 = 1

VERIFICALO!!!

Fuente(s): experiencia

Answer 4

a1 + a2 + a3 + a4 = 16

a3 + a4 = 12

a1 + ( a1 + d ) + ( a1 + d + d) + ( a1 + d + d + d ) = 16

( a1 + d + d) + ( a1 + d + d + d ) = 12

4a1 + 6d = 16

2a1 + 5d = 12

multiplicando la segunda ecuacion por 2:

4a1 + 6d = 16

4a1 + 10d = 24

restando:

- 4d = - 8

d = 2

despejando a1:

4a1 + 10d = 24

4a1 + 10*2 = 24

4a1 + 20 = 24

4a1 = 24 - 20

4a1 = 4

a1 = 1

luego los numeros son

a1 =1

a2 = 3

a3 = 5

a4 = 7

y el numero de 4 cifras pedido es:

1357

Answer 5

HOLA !!!

El numero es :

1357 <--------- RESPUESTA

Sabemos:

a1 + a2 + a3 + a4 = 16

a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + (a1 + 3d) = 16

4a1 + 6d = 16

___________

2a1 + 3d = 8 |

___________| ----> 2a1 = 8 - 3d <--- ❶

Tambien sabemos :

a3 + a4 = 12

(a1 + 2d) + (a1 + 3d) = 12

____________

2a1 + 5d = 12 |

____________| ---> 2a1 = 12 - 5d <--- ❷

De ❶; ❷ resulta :

8 - 3d = 12 - 5d

5d - 3d = 12 - 8

2d = 4

_____

d = 2 |

_____| <----- la distancia entre terminos consecutivos

reemplazamos "d "en una de las 2 ecuaciones :

2a1 = 8 - 3d

2a1 = 8 - 3*2

2a1 = 8 - 6

2a1 = 2

______

a1 = 1 |

______| <----- el primer termino de la progresion

Resulta la progresion es :

1 ...... 3 ....... 5....... 7

Resulta el numero de 4 digitos es:

_____

1 357 |

_____| <---------------- RESPUESTA

SUERTE !!!