Fernando preguntado en Ciencias y matemáticasMatemáticas · hace 1 década

Problema de Elipse en h,k?

Determinar la ecuación de la elipse con focos F1 (2,3) y F2 (-2,-1) y suma de radios focales es igual a 6. Determinar la ecuación.

2 respuestas

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  • hace 1 década
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    Hola,

    Tu elipse es oblicua. Entiendo que quieres la ecuación no importa estando oblicua.

    Primero, determinaremos los parámetros de tu elipse: La distancia entre los focos es: √((2-(-2))²+(3-(-1))²)=4√2, La suma de radios focales es de 6, es decir que el semieje mayor es 3. En una elipse:

    a: Semieje mayor, b, semieje menor, y c semi distancia entre focos: 2√2 (la mitad de la distancia entre focos), se cumple que:

    b²+c²=a², entonces para hallar el semieje menor o b, tenemos que:

    b²+(2√2)²=3², de donde b=1.

    Luego, hacemos el cambio de coordenadas, para que el eje mayor descanse en el eje x, pero para ello tenemos que ver primero la rotación y el traslado de tus coordenadas. El segmento que une los puntos (2,3) y (-2,-1) tienen una pendiente de 1, se puede verificar: (2,3) - (-2,-1) = (4,4), como ambos son iguales, entonces la pendiente es igual a 1, el punto intermedio entre ambos será:

    ((2,3) +(-2,-1))/2=(0,1), es decir, el punto intermedio entre ambos puntos es (0,1) o mejor dicho, el centro de la elipse. Lo mejor que podemos hacer es llevar el origen de coordenadas a ese punto, y rotarlo. Ojo, que dado que la pendiente es igual a 1, el ángulo de rotación es de 45°.

    Las nuevas coordenadas estarán dadas así, primero el cambio de posición: {x,(y-1)}

    Luego aplicamos los ángulos, nuevo eje x, o x' estará a 45° mientras que el nuevo eje y o y' estará a 135°, entonces tenemos:

    x'=x Cos[45°]+(y-1) Sin[45°]

    y'=x Cos[135°]+(y-1) Sin[135°]

    Ahora bien, teníamos que el semieje mayor era 3 y el menor 1, entonces aplicamos la ecuación de la elipse con x' e y':

    (x'/3)²+(y'/1)²=1, de donde tenemos:

    x'²+9y'²=9, rremplazamos los cambios de coordenadas:

    (x Cos[45°]+(y-1) Sin[45°])²+9(x Cos[135°]+(y-1) Sin[135°])²=9

    Si reemplazamos tenemos:

    5x²+8x+5y²-10y-8xy-4=0, que es la ecuación de tu elipse.

  • hace 1 década

    oye creo que estas equivocado en los datos de los focos revisa bien pues los focos deben tener al menos un punto en comun osea deben tener el mismo x o el mismo y fijate bien para poderte ayudar.

    depronto no sea -2 sino 2 fijate bien averiguate con algun compañero

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