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Sheik08 preguntado en Ciencias y matemáticasFísica · hace 1 década

En la práctica ¿cuánta área de una superficie plana será la que toque una esfera?

Yo sé que matematicamente y teoricamente en la física, una esfera que se deja caer a una superficie o choca contra algo plano, solamente toca en un punto el cual no tiene medida. Pero obiamente que en la practica no sucede eso, pues si dejamos caer una pelota que tiene pintura fresca alrededor de ella y que bote una vez en el piso, esa mancha que quede en el piso será medible.

¿Como puedo saber que área es esa si solamente cuento con el diametro/radio de la esfera?

3 respuestas

Calificación
  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    No se puede predecir el área de contacto solamente con el diámetro o el radio de la esfera, intervienen muchas variables y seguramente habrá que acudir a algún tipo de medición práctica.

    Es más fácil partir al revés, como vos decís, medís el área pintada y con eso obtener algún otro dato que pueda interesar, como el tiempo de contacto o la fuerza media aplicada en el rebote.

    Supongamos no obstante que mediante algún dispositivo, por ejemplo una placa plana con un detector de presión, se manda un impulso eléctrico en el pique que es proporcional a la presión recibida, debido a que el área de la placa es conocida el mismo aparato medirá la fuerza del impacto.

    Otro dato que será necesario es la masa de la pelota, suponiendo que fuera un balón la esfera a que nos referimos, y que el choque se pueda considerar aproximadamente elástico.

    En estas condiciones sabemos que:

    F = m a

    en donde a es la desaceleración del centro de masa de la pelota desde que impacta el punto tangente de ésta a que hacías referencia (comienzo del choque) hasta el momento de máximo aplastamiento contra la superficie horizontal.

    Como conocemos F y m => a = F/m = dv/dt

    o trabajando con valores medios:

    F / m = Δv / Δt = 2 vf / Δt

    donde llamamos vf a la velocidad "final" de la caída justo antes del comienzo del choque:

    vf = √ (2 g h)

    siendo además h la altura desde la cual se deja caer la pelota (medida desde su base hasta la misma base en el iniciod el impacto, o desde su centro hasta su centro en la misma condición: antes de comenzar a aplastarse).

    La condición de choque elástico no es estrictamente necesaria si conocemos el coeficiente de restitución, o la altura tras el rebote, en cuyo caso se plantearía la diferencia de v1-v2 siendo v1 la que había llamado vf, y v2 la velocidad con que sale hacia arriba cuando recuperó su forma, pero no consideraría el caso en que esto último ocurre, porque si no parte de la energía se usa en deformar la pelota definitivamente y distorsiona el cálculo ya de por sí aproximado.

    El tema es que determinar el "radio aplastado" que es el radio de la esfera cuando no está impactando, menos la distancia de frenado. Pero veremos que no es necesario usar la última fórmula si consideramos que:

    vf² - vo² = 2 a x

    siendo:

    a = F/m como antes;

    vf² = 2 g h, como antes;

    x = aplastamiento, o distancia desde que comienza el choque hasta que efectivamente comienza a subir de nuevo el balón.

    vo = 0, en este último momento referido, cuando comienza a subir de nuevo la pelota.

    x = (vf² - vo²) / 2 a = 2 g h / 2 F/m

    x = m g h / F

    ==========

    totalmente lógico, porque la energía potencial inicial es igual al trabajo de la reacción (media) del piso para frenar la pelota:

    m g h = F x

    y con este planteo sencillo se hubiese llegado a lo mismo, pero, cuidado, lo dicho sobre el tipo de choque sigue siendo válido (tener en cuenta también que la reacción del piso sigue actuando y en el resto del tiempo medio del choque la impulsa nuevamente hacia arriba).

    Una vez determinado este x aproximado (fijate que tuvimos que usar hipótesis simplificativas, como que la aceleración es constante durante el choque, que el mismo es prácticamente elástico o que debe serlo) volvemos a suponer algo aproximado: que la pelota se aplasta sin una deformación significativa fuera de la zona de contacto y lo podemos analizar como una esfera sin un casquete.

    Entonces:

    Radio aplastado = R - x

    cos θ = (R-x) / R = 1 - x/R

    siendo θ el semiángulo central del cono esférico a partir del área de contacto.

    Finalmente:

    Radio de contacto = Rc = R sen θ

    ==========================

    te daría el radio de la superficie de contacto aproximada en las condiciones planteadas y si pudiste medir la fuerza del impacto.

    Yo creo que en forma práctica esto no sirve para nada, pero es un interesante análisis de los elementos físicos en juego durante el impacto.

    Si por otro lado consideramos una esfera metálica como una bolilla de rodamiento (cojinete) hay que ver las durezas relativas y cuánto se deforma también la superficie donde rebota durante el impacto. Creo que sería puramente empírica la cosa.

    Saludos!

  • Anónimo
    hace 1 década

    te faltaria considerar la fuerza del choque y la elasticidad de los materiales, puesto que esa mancha tiene que ver con cuanto se deforman los materiales al chocar, ejemplo es un pelota de plastico contra madera por ejemplo dejara una mancha mas grande que un balin de acero contra una plancha del mismo material.

    salu2

  • hace 1 década

    me imagino que la esfera al caer deja una mancha en forma de esfera también.....el area la puedes saber con el diámetro de la misma mancha que deja la esfera......creo!!

    Fuente(s): chaozzzz......
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