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Aritmetica modular?

Alguien me podria explicar por favor como es la aritmetica modular de una forma sencilla y, en la medida de lo posible, facil de comprender? estoy apenas en primer año de ciencias y lo que he estudiado hasta ahora de esto por mi cuenta no lo tengo muy claro... gracias

2 respuestas

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  • hace 1 década
    Respuesta preferida

    Te explico, se trata básicamente de calcular restos.

    Se trata de definir una relación de equivalencia entre aquellos números naturales que divididos por un número natural fijo tienen el mismo resto.

    Bien, esto define para cada natural un conjunto. Resulta que es siempre un grupo. Y si hacés las cosas con más detalles verás que es un anillo.... A la pelota, si el númeroe s un primo, como corolario del teorema de Fermat resulta que es un cuerpo.

    Veamos un ejemplo:

    Supongamos que fijo un número, el 3 por ejemplo. Quiero ahora saber cómo es mi aritmética cuando la relación de equivalencia se establece según el módulo de congruencia 3.

    Esto es fácil, los números en este conjunto serán los restos de dividir por 3. Por ejemplo 12 resulta ser igual al cero, 13 es igual al 1 y 29 igual al 2. Este igual, repito, es la nueva relación de equivalencia definida.

    Una aplicación simple de esto, veamos qué números son divisibles por 3. Muy fácil, cualquier número puede ser desarrollado en potencias del 10, pero el 10 resulta ser igual a uno en este conjunto, por lo cual un número resulta ser igual a la suma de sus dígitos, bajo esta relaciónd e equivalencia. Esto implica que un número es divisible por tres (congruente a cero en módulo 3) si sus dígitos suman un número que es divisible por 3

    Los criterios que aprendiste de memoria en la primaria se deducen de acá fácilmente.

    Veamos que el conjunto dado es un cuerpo, veamos que cualquier elemento tiene inverso salvo el 0 (el resto se prueba trivialmente). 1*1 es 1, 2*2=4=1 mod(3), es decir que todos los elementos tienen un inverso.

    El teorema que anuncié, en el que digo que el conjunto será un cuerpo si el N es primo, es un si y sólo si. La demostración es fácil recordando el teorema de Fermat.

    Veamos, todo número primo p cumple que a^(p-1)=1 mod(p) para todo a natural. Esto implica que a*a^(p-2)=1 mod(p), por lo tanto el inverso de a es a^(p-2).

    Para el otro lado, si el conjunto tiene inverso para cada elemento entonces el N es primo. Si supongo que no es primo sé, por el teorema fundamental de la aritmética, que N puede escribirse como un producto de primos. Luego hay un primo q que es menor que N, por lo cual está en el conjunto. Si existe k natural tal que k*q=1 mod(N) (existe por hipótesis), entonces kq-1=q*"algo" tomo el resto de dividir por q a ambos miembros y obtengo que 1=0 mod(q) Esto es absurdo (q es primo, no puede ser 1). Por lo cual N es primo.

    Tiene muchas más aplicaciones y más teoría.. pero bueno. Hay un apunte muy bueno de Susana Puddu en la página de Álgebra I del departamento de Matemática de la UBA. Está muy bien explicado todo este tema.

    www.dm.uba.ar, a partir de ahí llegás al texto que recomiendo.

    Saludos.

  • Anónimo
    hace 1 década

    Piensa en las horas del día, puedes ponerlas como de 0 a 24 horas en el día o puedes usarla con el modulo 12.

    Peo mejor esperate a que lleves Algebra Moderna.

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